什么是Cauchy数列

柯西收敛定理的证明

1、定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。

2、在大于某个特定的项数n之后，任选两个项的绝对值总会小于一个数（该数值不确定，但恒大于零），则这个数列就是基本数列（收敛数列）。“柯西准则”又称“柯西收敛原理”，是一个数列极限存在的充要条件。

3、柯西收敛准则正确性证明：充分性证明：首先证明Cauchy列有界。取ε=1，根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切n；N，有Ia(n)-a(N+1)I；1。令M=max{|a(1)|，|a(2)|，…，|a(N)|，|a(N+1)|+1}。则对一切n，成立|a(n)|≤M。所以Cauchy列有界。

4、对任意满足j；=s的整数j时：| ∑[s，j]cos((x^n)/(n^2)) | ；=∑[s，j] | cos((x^n)/(n^2)) | ；=∑[s，j] 1/(n^2))；=∑[s，j] 1/(n*（n-1）)=1/（s-1） -（1/j）；1/（s-1）；1/（s-1）；t 根据t的任意性以及原理收敛原理可知原级数一定收敛。

5、首先，要搞清楚 cauchy 准则的正反叙述：正：级数∑u(n)收敛 ；==； 对任意 ε；0，存在 n，使对任意 n；n 及任意正整数 p，有 ∑(1≤k≤p)u(n+k)； ε。反：级数 ∑u(n)发散 ；==； 对某 ε0；0，及任意 n，存在 n0；n 及正整数 p0，有 ∑(1≤k≤p0)u(n0+k)≥ ε0。